\chapter{1835年，哈密顿《广义动力学理论》中正则方程的现代重构}
	
	\begin{abstract}
		本文严格重建了威廉·罗万·哈密顿(William Rowan Hamilton)在其1835年发表的《关于动力学的一般方法》(On a General Method in Dynamics)中提出的动力学新形式。通过引入广义动量与勒让德变换，哈密顿将拉格朗日力学重构为对称的正则形式，开创了现代理论物理的新范式。本文采用辛几何语言，详细展示从拉格朗日量到哈密顿正则方程的完整推导过程，并分析其在数学物理中的革命性意义。
		
		\textbf{关键词}: 哈密顿方程、正则变换、相空间、作用量原理、辛几何
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1835年，哈密顿在《哲学汇刊》上发表系列论文，建立了以他命名的动力学表述。这一工作不仅完善了分析力学体系，更为后来的量子力学、统计力学和混沌理论提供了基础框架。
	
	\section{历史背景}
	\subsection{拉格朗日力学的局限}
	\begin{itemize}
		\item 二阶微分方程形式复杂
		\item 对称性表现不直观
		\item 缺乏动量-坐标的对偶性
	\end{itemize}
	
	\subsection{哈密顿的创新路径}
	\begin{align*}
		&\text{勒让德变换} \quad H = \sum p_i \dot{q}^i - L \\
		&\text{相空间概念} \quad \Gamma = (q^i, p_i) \\
		&\text{作用量新形式} \quad S = \int (p_i dq^i - H dt)
	\end{align*}
	
	\section{从拉格朗日到哈密顿}
	\subsection{广义动量的定义}
	对于拉格朗日量$L(q,\dot{q},t)$，定义正则动量：
	
	\begin{equation}
		p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \quad (i=1,...,n)
	\end{equation}
	
	\subsection{勒让德变换}
	构造哈密顿量：
	
	\begin{equation}
		H(q,p,t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - L(q,\dot{q},t)
	\end{equation}
	
	其中$\dot{q}^i$需用$p_i$反解表示。
	
	\section{正则方程的推导}
	\subsection{变分原理导出}
	由哈密顿原理$\delta S = 0$，作用量：
	
	\begin{equation}
		S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_i p_i \dot{q}^i - H(q,p,t) \right) dt
	\end{equation}
	
	独立变分$q^i$和$p_i$得到：
	
	\begin{align}
		\dot{q}^i &= \frac{\partial H}{\partial p_i} \label{eq:h1} \\
		\dot{p}_i &= -\frac{\partial H}{\partial q^i} \label{eq:h2}
	\end{align}
	
	\subsection{泊松括号表述}
	定义泊松括号：
	
	\begin{equation}
		\{f,g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q^i} \right)
	\end{equation}
	
	则运动方程可表示为：
	
	\begin{equation}
		\dot{f} = \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}
	\end{equation}
	
	\section{原始推导的特征分析}
	哈密顿的原始方法具有以下特点：
	
	\begin{itemize}
		\item 首次明确相空间几何结构
		\item 建立动量-坐标的完全对称性
		\item 隐含辛几何的萌芽思想
		\item 为量子力学对易关系提供经典类比
	\end{itemize}
	
	\section{现代发展与应用}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{哈密顿力学的应用领域}
		\begin{tabular}{>{\raggedright}m{3cm}>{\raggedright}m{8cm}}
			\hline
			领域 & 应用实例 \tabularnewline
			\hline
			量子力学 & 薛定谔方程源于经典哈密顿量 \tabularnewline
			统计力学 & 相空间中的刘维尔定理 \tabularnewline
			混沌理论 & 庞加莱截面分析方法 \tabularnewline
			场论 & 哈密顿密度与约束系统 \tabularnewline
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{数学结构深入}
	\subsection{辛几何表述}
	定义辛形式：
	
	\begin{equation}
		\omega = \sum_{i=1}^n dq^i \wedge dp_i
	\end{equation}
	
	哈密顿方程成为：
	
	\begin{equation}
		i_{X_H} \omega = -dH
	\end{equation}
	
	其中$X_H$为哈密顿向量场。
	
	\subsection{作用量-角变量}
	对于周期系统，引入：
	
	\begin{equation}
		J_i = \oint p_i dq^i \quad \text{(作用量变量)}
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	哈密顿1835年的工作不仅解决了拉格朗日力学的形式缺陷，更深刻揭示了动力学系统的几何本质。其建立的正则形式体系，成为连接经典物理与量子理论的桥梁，在当代数学物理中仍保持核心地位。
	
	\section{详细推导补充}
	\subsection{勒让德变换的可逆性}
	要求变换非奇异：
	
	\begin{equation}
		\det \left( \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^i \partial \dot{q}^j} \right) \neq 0
	\end{equation}
	
	\subsection{正则不变性证明}
	对于任意生成函数$F(q,P,t)$，新哈密顿量：
	
	\begin{equation}
		K(Q,P,t) = H(q,p,t) + \frac{\partial F}{\partial t}
	\end{equation}
	
	保持方程形式不变。
	
	\subsection{李导数解释}
	沿$X_H$的李导数：
	
	\begin{equation}
		\mathcal{L}_{X_H} \omega = 0 \quad \text{(辛结构守恒)}
	\end{equation}

	\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{hamilton1835} 
	Hamilton, W. R. (1835). 
	\textit{On a General Method in Dynamics}. 
	Philosophical Transactions of the Royal Society, 125, 269-312.
	
	\bibitem{arnold2013}
	Arnold, V. I. (2013). 
	\textit{Mathematical Methods of Classical Mechanics} (2nd ed.). 
	Springer.
	
	\bibitem{marsden2001}
	Marsden, J. E., \& Ratiu, T. S. (2001). 
	\textit{Introduction to Mechanics and Symmetry}. 
	Springer.
\end{thebibliography}
